Minimalna wartość niepewności systematycznej jest określona dokładnością stosowanego przyrządu (dokładnością odczytu czyli „najmniejszą działką”). Wartość rzeczywista (x rz), którą szacujemy w przedziale zbudowanym za pomocą niepewności systematycznej ∆x, zawarta jest w tym przedziale z prawdopodobieństwem 1 Rysowanie liczby zespolonej. Każda liczba zespolona może zostać przedstawiona jako punkt na płaszczyźnie zespolonej. Rozważmy dla przykładu liczbę 3 − 5 i . Liczba ta, którą można przedstawić również jako 3 + ( − 5) i , ma część rzeczywistą równą 3 i część urojoną równą − 5 . Czasami do liczb naturalnych zaliczamy również liczbę zero (autor książki matematycznej powinien zawsze jasno określić, czy uznaje liczbę zero za naturalną, czy też nie). Otóż wtedy r = 2, więc n - r = 2 - 2 = 0 = 0 2 oraz n + r = 2 + 2 = 4 = 2 2 co wskazywałoby na to, że to jest najmniejsza liczba Rzadka. W tym przypadku nie jest spełniony warunek, że n nie może być palindromem. Podobnie jest w przypadku n = 18. Ciąg liczb a – liczba rzeczywista b – liczba rzeczywista. Wynik: śr – liczba rzeczywista (średnia liczb a, b) Problem: Obliczanie wartości wielomianu: Schemat Hornera . Dane wejściowe: n – nieujemna liczba całkowita – stopień wielomianu a0, a1, a2, ….,an – n+1 współczynników wielomianu z – wartość argumentu. Dane wyjściowe: Vay Tiền Trả Góp Theo Tháng Chỉ Cần Cmnd. Podstawa programowa Ministerstwa Edukacji do nowej matury (od 2015 roku) zakłada, że uczeń: przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych); posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach; oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych; wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką); wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym; oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia; posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej; wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok). W tej części kursu przećwiczymy dokładnie wszystkie powyższe nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 .Ułamiki, potęgi i pierwiastkiWzory przydatne w tym dziale znajdziesz w tablicach maturalnych na stronie nr 1. Najważniejsze wiadomości: Ułamki zwykłe dodajemy i odejmujemy sprowadzając do wspólnego mianownika, np.: \[\frac{1}{2}+\frac{3}{5}=\frac{5}{10}+\frac{6}{10}=\frac{11}{10}\] Ułamki zwykłe można zamienić na dziesiętne (okresowe) dzieląc na kalkulatorze licznik przez mianownik, np.: \[\frac{21}{45} = 21:45 = 0{,}4666666... = 0{,}4(6)\] Wzory do wykonywania działań na potęgach: Definicja potęgi o wykładniku naturalnym \[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n \text{ razy}}\] Wzory na potęgi o wykładnikach wymiernych \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad (\text{dla }a\ne 0)\\[16pt] a^{\tfrac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\quad (\text{dla }a\ge 0)\\[16pt] a^{\tfrac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}\quad (\text{dla }a\ge 0)\\[16pt] a^{-\tfrac{k}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^k}}\quad (\text{dla }a\gt 0)\\[16pt] \] Wzory działań na potęgach \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\[16pt] \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\\[16pt] a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\\[16pt] \frac{a^n}{b^n}=\left (\frac{a}{b}\right )^n\\[16pt] \left(a^m \right)^n=a^{m\cdot n} \] Wzory działań na pierwiastkach \[ \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\\[16pt] \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \] Działania na bardziej skomplikowanych pierwiastkach wykonujemy najczęściej zamieniając pierwiastki na potęgi. \[ \sqrt[n]{a}=a^{\tfrac{1}{n}}\\[16pt] \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}=a^{\tfrac{1}{n}}\cdot a^{\tfrac{1}{m}}=a^{\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{m}}\\[16pt] \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}} =\frac{a^{\tfrac{1}{n}}}{a^{\tfrac{1}{m}}} =a^{\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{m}}\\[16pt] \] Wartość wyrażenia \(\frac{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}\) jest równa A.\( 1 \) B.\( \frac{1}{2} \) C.\( \frac{1}{12} \) D.\( \frac{1}{72} \) BW tym nagraniu wideo pokazuję jak wykonywać działania na potęgach o wykładniku wymiernym. Przez pierwsze 8 minut nagrania przypominam również zasady wykonywania działań na potęgach o wykładniku nagrania: 30 \( 3^{30}\cdot 9^{90} \) jest równa: A.\(3^{210} \) B.\(3^{300} \) C.\(9^{120} \) D.\(27^{2700} \) ALiczba \(2^{20}\cdot 4^{40}\) jest równa A.\( 2^{60} \) B.\( 4^{50} \) C.\( 8^{60} \) D.\( 8^{800} \) BIloczyn \(81^2\cdot 9^4\) jest równy A.\( 3^4 \) B.\( 3^0 \) C.\( 3^{16} \) D.\( 3^{14} \) CIloraz \(125^5:5^{11}\) jest równy A. \(5^{-6}\) B. \(5^{16}\) C. \(25^{-6}\) D. \(25^2\) DLiczba \(\frac{7^6\cdot 6^7}{42^6}\) jest równa A.\( 42^{36} \) B.\( 42^7 \) C.\( 6 \) D.\( 1 \) CLiczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa A.\( 4^4 \) B.\( 20^{16} \) C.\( 20^5 \) D.\( 4 \) DLiczba \(128^{-4}:\left ( \frac{1}{32} \right )^4\) jest równa A.\( 4^{-4} \) B.\( 2^{-4} \) C.\( 2^4 \) D.\( 4^4 \) ALiczba \(\left (\frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{2^{-1}\cdot 3^{-2}} \right )^0\) jest równa A.\( 1 \) B.\( 4 \) C.\( 9 \) D.\( 36 \) ALiczba \( \frac{1}{2}\cdot 2^{2014} \) jest równa A.\(2^{2013} \) B.\(2^{2012} \) C.\(2^{1007} \) D.\(1^{2014} \) ATrzecia część liczby \(3^{150}\) jest równa: A.\( 1^{50} \) B.\( 1^{150} \) C.\( 3^{50} \) D.\( 3^{149} \) DLiczbę \(x=2^2\cdot 16^{-4}\) można zapisać w postaci A.\( x=2^{14} \) B.\( x=2^{-14} \) C.\( x=32^{-2} \) D.\( x=2^{-6} \) BLiczba \( 3^{\frac{8}{3}}\cdot \sqrt[3]{9^2} \) jest równa: A.\(3^3 \) B.\(3^{\frac{32}{9}} \) C.\(3^4 \) D.\(3^5 \) CLiczba \(\sqrt[3]{{(-8)}^{-1}}\cdot {16}^{\frac{3}{4}}\) jest równa A.\( -8 \) B.\( -4 \) C.\( 2 \) D.\( 4 \) BLiczbę \(\sqrt{32}\) można przedstawić w postaci A.\( 8\sqrt{2} \) B.\( 12\sqrt{3} \) C.\( 4\sqrt{8} \) D.\( 4\sqrt{2} \) DLiczba \(7^{\frac{4}{3}}\cdot \sqrt[3]{7^5}\) jest równa A.\( 7^{\frac{4}{5}} \) B.\( 7^3 \) C.\( 7^{\frac{20}{9}} \) D.\( 7^2 \) BLiczba \(\sqrt[3]{(27)^{-1}}\cdot 72^0\) jest równa A.\( \frac{1}{3} \) B.\( -\frac{1}{3} \) C.\( 0 \) D.\( 3 \) AWyrażenie \(\sqrt{1{,}5^2+0{,}8^2}\) jest równe: A.\( 2{,}89 \) B.\( 2{,}33 \) C.\( 1{,}89 \) D.\( 1{,}70 \) DLiczba \(\frac{5^3\cdot 25}{\sqrt{5}}\) jest równa A.\( 5^5\sqrt{5} \) B.\( 5^4\sqrt{5} \) C.\( 5^3\sqrt{5} \) D.\( 5^6\sqrt{5} \) BLiczba \(\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{3}\) jest równa A.\( \sqrt[9]{3} \) B.\( \sqrt[18]{3} \) C.\( \sqrt[18]{6} \) D.\( \sqrt{3} \) DWartość wyrażenia \(5^{100}+5^{100}+5^{100}+5^{100}+5^{100}\) jest równa A.\( 5^{500} \) B.\( 5^{101} \) C.\( 25^{100} \) D.\( 25^{500} \) BWyrażenie \(2\sqrt{50}-4\sqrt{8}\) zapisane w postaci jednej potęgi wynosi A.\( 2^{\frac{3}{2}} \) B.\( 2^{\frac{1}{2}} \) C.\( 2^{-1} \) D.\( 4^{\frac{1}{2}} \) ALiczba \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\) jest równa A.\( 2\sqrt{2} \) B.\( 2 \) C.\( 4 \) D.\( \sqrt{10}-\sqrt{6} \) BLiczba \( \left ( \frac{1}{\left (\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2 \right)^0} \right )^{-2} \) jest równa A.\(\frac{1}{225} \) B.\(\frac{1}{15} \) C.\(1 \) D.\(15 \) CLiczba \(\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{\left (\frac{2}{7} \right)^{-1}}\) jest równa A.\( -1 \) B.\( \frac{4}{49} \) C.\( -2\frac{1}{4} \) D.\( 1 \) DLiczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa A.\( \sqrt[6]{3} \) B.\( \sqrt[4]{3} \) C.\( \sqrt[3]{3} \) D.\( \sqrt{3} \) DLiczbą odwrotną do liczby \(5\frac{3}{11}-2\frac{1}{11}\cdot \sqrt[3]{-8}\) jest A.\( \frac{11}{70} \) B.\( \frac{11}{104} \) C.\( -\frac{11}{104} \) D.\( -\frac{70}{11} \) BLiczba \(0{,}(70)\) jest równa liczbie A.\( \frac{7}{10} \) B.\( \frac{70}{99} \) C.\( \frac{7}{9} \) D.\( \frac{77}{99} \) BW rozwinięciu dziesiętnym ułamka \(\frac{2}{7}\) na trzydziestym miejscu po przecinku stoi cyfra A.\( 7 \) B.\( 1 \) C.\( 2 \) D.\( 4 \) DLiczbą większą od zera jest liczba A.\( \frac{1}{3}-0{,}(3) \) B.\( -\sqrt{3}+1\frac{7}{9} \) C.\( 4\frac{2}{3}-4\sqrt{3\frac{1}{16}} \) D.\( -2^2 \) BLicznik pewnego ułamka jest równy \(6\). Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o \(2\), a mianownik o \(3\), to wartość tego ułamka się nie zmieni. Jaki to ułamek? A.\( \frac{6}{10} \) B.\( \frac{6}{5} \) C.\( \frac{6}{11} \) D.\( \frac{6}{9} \) DJeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.\(\frac{8}{17}\)Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznychWartości wyrażeń arytmetycznych obliczamy podstawiając wartość liczbową do danego wyrażenia, np.: Wartość wyrażenia \(2x-6\) dla \(x=7\) jest równa: \(2\cdot 7-6=14-6=8\). Wartość wyrażenia \((a-1)(a^2+a+1)\) dla \(a=\frac{3}{4}\) jest równa A.\( -\frac{37}{64} \) B.\( \frac{1}{4} \) C.\( -\frac{1}{4} \) D.\( 1\frac{27}{64} \) AWyrażenie \((1 - 2x)^2 - 3(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})\) dla \(x = 2\) przyjmuje wartość A.\( 1 \) B.\( 2 \) C.\( 3 \) D.\( -5 \) CWartość liczbowa wyrażenia algebraicznego \((a^2 - 16)(a + 2)\) dla \(a = \sqrt{2}\) wynosi A.\( 56\sqrt{2} \) B.\( 14(\sqrt{2}+2) \) C.\( 56 \) D.\( -14(\sqrt{2}+2) \) DWyrażenie \(\frac{x-1}{x-2}\cdot \frac{x^2-4}{x^2-1}\) dla \(x=4\) ma wartość A.\( 0 \) B.\( 1\frac{1}{5} \) C.\( \frac{3}{2} \) D.\( 6 \) BWartość liczbowa wyrażenia \(x^3y^2 - y^3x^2\) dla \(x = -1\) i \(y = -2\) wynosi A.\( 0 \) B.\( 4 \) C.\( -4 \) D.\( 12 \) BLogarytmy Najważniejsze wzory: \[\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\] \[\log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)\] \[n\cdot \log_ab=\log_a(b^n)=\log_{a^{\frac{1}{n}}}b\] \[a^{\log_ab}=b\] \[\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\] W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze wiadomości dotyczące logarytmów. Pokazuję najprostszą metodę obliczania logarytmów, omawiam wszystkie najważniejsze wzory związane z logarytmami, dziedzinę logarytmu oraz równania i nierówności nagrania: 67 \( \log_8 16+1 \) jest równa A.\(\log_8 17 \) B.\(\frac{3}{2} \) C.\(\frac{7}{3} \) D.\(3 \) CLiczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa A.\( \frac{3}{2} \) B.\( 2 \) C.\( \frac{5}{2} \) D.\( 3 \) DLiczba \( \log 24 \) jest równa: A.\(2\log 2+\log 20 \) B.\(\log 6+2\log 2 \) C.\(2\log 6-\log 12 \) D.\(\log 30-\log 6 \) BLiczba \(2\log 5 +\log 4\) jest równa A.\( 2 \) B.\( 2\log 20 \) C.\( \log 40 \) D.\( 10 \) ALiczba \(2\log_5 10 - \log_5 4\) jest równa A.\( 2 \) B.\( \log_5 96 \) C.\( 2\log_5 6 \) D.\( 5 \) AWartość wyrażenia \(\log_50{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}1\) jest równa A.\( -3 \) B.\( -2\frac{1}{4} \) C.\( -2 \) D.\( 0 \) CWartość wyrażenia \(\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9}\) jest równa A.\( -1 \) B.\( -2 \) C.\( \log_3\frac{5}{11} \) D.\( \log_3\frac{31}{18} \) ALiczba \(\frac{\log_3729}{\log_636}\) jest równa A.\( \log_6693 \) B.\( 3 \) C.\( \log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4} \) D.\( 4 \) BLiczba \( \left ( \log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} \right )^4 \) jest równa A.\(12 \) B.\(6 \) C.\(9 \) D.\(81 \) DLiczba \( c=\log_{3}2 \). Wtedy A.\(c^3=2 \) B.\(3^c=2 \) C.\(3^2=c \) D.\(c^2=3 \) B Najmniejsza dwucyfrowa liczba to 10, a największa to 99. Najmniejsza liczba z trzema cyframi to 100, a największa 999. Tak więc pod względem cyfr 10 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 1 to najmniejsza jest największa dwucyfrowa liczba?Milionowa dwucyfrowa liczba to 99. Największa trzycyfrowa liczba to 999. Pod względem cyfr 99 jest największą liczbą. Ale pod względem wartości 99999 to największa jest najmniejsza cyfra?Najmniejsza jednocyfrowa liczba to 1 (jeden), a największa jednocyfrowa liczba to 9. Gdy cyfry są używane jako wielkość liczbowa, stają się liczbami. Tak więc pod względem cyfr 1 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 0 jest najmniejszą jest najmniejsza 3-cyfrowa liczba?Najniższa trzycyfrowa liczba to 100, a najwyższa trzycyfrowa liczba to 999. Tak więc pod względem cyfr 100 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 1 to najmniejsza najmniejsza dwucyfrowa liczba pierwsza?Najmniejsza dwucyfrowa liczba pierwsza to 11. Zatem pod względem cyfr 11 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 2 to najmniejsza jest najmniejsza liczba 6 cyfr?100 000 to najmniejsza liczba 6-cyfrowa, ponieważ 100000 – 1 daje liczbę 5-cyfrową. W rezultacie 100 000 to najmniejsza liczba 6-cyfrowa. 1 to najmniejsza liczba, jest różnica między najmniejszą 3-cyfrową liczbą a największą 2-cyfrową liczbą?Różnica między najmniejszą 3-cyfrową liczbą (100) a największą 2-cyfrową liczbą (99) wynosi 1. Tak więc, jeśli chodzi o cyfry, 100 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 0 jest najmniejszą jest liczba 2 większa niż najmniejsza 9-cyfrowa liczba?Ponieważ najmniejsza 9-cyfrowa liczba to 100000000. O 2 więcej niż ta liczba to 100000002. Tak więc, jeśli chodzi o cyfry, 100000002 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 1 to najmniejsza 0 jest liczbą cyfrową?W języku C jest ona dosłownie zdefiniowana jako „zero” (w szczególności ta wartość nie jest używana w żadnych obliczeniach). Jest to liczba i cyfra, która może być użyta do przedstawienia jej w postaci liczbowej. Odgrywa ważną rolę w matematyce jako addytywna identyczność liczb całkowitych, liczb rzeczywistych i innych struktur algebraicznych, ponieważ jest to jedyna liczba całkowita (i w konsekwencji jedyna liczba rzeczywista), która nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Innymi słowy, 0 to najmniejsza jest największa i najmniejsza liczba?Największą jest więc 8741. Aby uzyskać najniższą liczbę, najmniejsza cyfra 1 jest umieszczana na miejscu tysięcy, następna wyższa cyfra 4 na pozycji setki, jeszcze większa cyfra 7 na miejscu dziesiątki i największa cyfra 8 na miejscu jedynki lub jednostek . W rezultacie 1478 jest najmniejszą liczbą jest największa dwucyfrowa liczba pierwsza?Liczba to 25. liczba pierwsza (największa dwucyfrowa liczba pierwsza o podstawie 10), następująca po 89 i poprzedzająca uczysz 3-cyfrowej liczby?Najlepszym sposobem na nauczenie się trzycyfrowej liczby jest rozpoczęcie od jedynego miejsca i pójście w górę. Tak więc, jeśli uczysz liczby 512, zacznij od 2, a następnie przejdź do 5, a następnie 1. Możesz również użyć wykresów wartości miejsc, aby to wyjaśnić. Innym sposobem myślenia o tym jest to, że liczba 100 jest punktem wyjścia dla liczb trzycyfrowych, więc każda liczba większa niż 100 może być uważana za liczbę trzycyfrową. Wreszcie, możesz również użyć manipulacji, takich jak łączenie kostek lub bloków o podstawie dziesięciu, aby pomóc w budowaniu 2 jest liczbą pierwszą i dlaczego?Liczba pierwsza to dodatnia liczba całkowita, która nie ma żadnych wspólnych czynników z żadną inną liczbą. 2 ma tylko dwa różne dzielniki, ponieważ dzielniki 2 to 1 i 2. Jedynym powodem, dla którego większość liczb parzystych jest złożona, jest to, że z definicji muszą być dzielone przez dwa (liczba pierwsza). Liczby rzeczywisteTu jesteś > Liczby > Rodzaje liczb > Liczby rzeczywiste Każda liczba jest liczbą rzeczywistą. Więc, zbiorem liczb rzeczywistych są wszystkie liczby - wymierne oraz niewymierne. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem $\Bbb{R}$. Liczbami rzeczywistymi są przykładowe liczby: $$1,\sqrt{3},-7,\frac12,\pi,-\sqrt{13}$$ Zakres szkoły podstawowej. RÓWNANIA: ax+b=0 Jeżeli dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienna, połączmy symbolem „=”, to otrzymamy równanie. Zmienną(zmienne) nazywamy wtedy niewiadomą(niewiadomymi). Część wspólną dziedzin obu wyrażeń algebraicznych, z których utworzone jest równanie, nazywamy dziedziną równania. Na ogół dziedziną równań jest zbiór liczb rzeczywistych R. 3(x+5)=2x+20; 2x=8. Są to równania z jedną niewiadomą, gdyż występuje w nich tylko jedna zmienna. Dziedziną ich jest zbiór liczb R. Rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą nazywamy liczbę należącą do dziedziny równania, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej zmienia to równanie w równość(tzn. w zdanie prawdziwe). Jeśli pewna liczba jest rozwiązanie równania, to mówimy, że spełnia ona to równanie. Rozwiązać równanie, tzn. znaleźć zbiór wszystkich rozwiązań tego równania. Zbiór może się składać z jednego lub z kilku rozwiązań, może być zbiorem pustym lub nieskończonym. Np. równanie 2x+1=5 ma jedno rozwiązanie x=2 (dla a0 x=) Równanie x=1 ma dwa rozwiązania x1=1, x2=-1 Równanie x=-4 nie ma rozwiązania, bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną Równanie 2x+6=2(x+3) ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem tego równania (dla a=0 i b=0). Dwa równania nazywamy równoważnymi, jeżeli mają takie same dziedziny i te same zbiory rozwiązań. Równania rozwiązujemy przekształcając je równoważnie, wykorzystując twierdzenia o równoważności równań. Twierdzenie 1 Jeżeli po jednej lub po obu stronach równania wykonamy występujące tam działania albo przeprowadzimy redukcje wyrazów podobnych, to otrzymamy równanie równoważne danemu. wykonujemy mnożenie po lewej stronie 3x+15-4x-8=10-3x wykonujemy redukcje wyrazów podobnych po lewej stronie -x+7=10-3x Twierdzenie 2 Jeżeli do obu stron równania dodamy( lub od obu stron równania odejmiemy) ten sam jednomian, to otrzymamy równanie równoważne danemu równaniu. Np. –x+7=10-3x |+3x –x+7+3x =10-3x+3x |-7 –x+7+3x-7 =10-3x+3x-7 | redukcja wyrazów podobnych -x=3x=10-7 2x=3 W praktyce mówmy o przenoszeniu jednomianów(wyrazów równania) z jednej strony równania na drugą, z przeciwnym znakiem. Twierdzenie 3 Jeśli obie strony równania pomnożymy(podzielimy) przez te samą liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu. Np. 2x=3 |:2 x=1,5 Rozwiązaniem równania jest liczba 1,5. RÓWNANIA LINIOWE Równanie, które po przekształceniach równoważnych można sprowadzić do postaci ax+b=0, gdzie a i b są ustalonymi liczbami, a x – niewiadomą, nazywamy równaniem liniowym lub równaniem pierwszego stopnia w przypadku, gdy a0. Aby rozwiązać równanie, szukamy miejsc zerowych funkcji liniowej xax+b lub b). (2x+3) -(3x+9)=(x+3)(x-3)+3x Przy rozwiązywaniu równań stosujemy co układa się nam w schemat: 1) Po obu stronach równania wykonujemy występujące tam działania. 2) Jednomiany zawierające niewiadomą poznosimy na jedną stronę równania, a jednomiany będące liczbami-na drugą stronę. Przenosząc jednomian z jednej strony na drugą, zmieniamy znak tego jednomianu na przeciwny. 3) Po obu stronach równania przeprowadzamy redukcje wyrazów podobnych. 4) Obie strony równania dzielimy przez współczynnik przy niewiadomej. Rozwiązując równania: Np. a). x=2 lub b). x=-1 –rozwiązaniem równania jest liczba c).3(x+2)=2(x+1)+x+4 0*x=0 - rozwiązaniem jest każda liczba R, bo 0*[cokolwiek]=0. d).4(x+1)-3(2x+3)=-2+8 0*x=13 -równanie nie ma rozwiązania. NIERÓWNOŚCI LINIOWE Jeżeli dwa wyrażenia algebriczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienna, połączymy jednym z symboli„>” lub „”to otrzymamy nierówność. Zmienna występująca w nierówności to niewiadoma. Cześć wspólną dziedzin obu wyrażeń algebraicznych, z których jest utworzona nierówność, nazywamy dziedziną nierówności. Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy taką liczbę (należącą do dziedziny nierówności), która podstawiona do nierówności w miejsce niewiadomej zamienia tę nierówność w zadanie prawdziwe. Jeśli pewna liczba jest rozwiązaniem danej nierówności, to mówimy, że spełnia ona tę nierówność. Rozwiązać nierówność tzn. znaleźć jej zbiór rozwiązań. Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, gdy mają te same dziedziny i te same zbiory rozwiązań. Nierówności rozwiązujemy wykorzystując twierdzenia o równoważności nierówności: Twierdzenie 1 Jeżeli po jednej lub po obu stronach nierówności wykonamy występujące tam działania a, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Twierdzenie 2 Jeżeli do obu stron nierówności dodamy( lub od obu stron nierówności odejmiemy) ten sam jednomian, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Twierdzenie 3 Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez te samą liczbę dodatnią różną od zera, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Twierdzenie 4 Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez te samą liczbę ujemną zmieniając jednocześnie zwrot tej nierówności na przeciwny, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Jeżeli nierówność po uporządkowaniu ma postać ax+b>0, ax+b0, ax+b0, to nazywamy ją nierównością liniową. |*4 (z 12x+4-x+3>16x-8 (z 12x-3-16x>-8-4-3 (z -5x>-15 x Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb R mniejszych od 3. Rozwiązanie algebraiczne: x(-,3) Rozwiązanie graficzne: b).(x-2) 0 Zbiorem rozwiązań jest R, ponieważ kwadrat dowolnej liczby R jest liczba nieujemną, więc rozwiązaniem jest tu każda liczba rzeczywista. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE Równanie postaci ax+bx+c=0, gdzie a0 nazywamy równaniem kwadratowym. Aby rozwiązać równanie(postaci ax+c=0), szukamy miejsc zerowych funkcji x ax+c Np. a) (x-1) +(2x+4)=2x+9 x=-4 Równanie to nie ma rozwiązania, gdyż nie ma liczby R, której kwadrat jest liczbą ujemną. b). 10(x-1)+(3x-1) =(2x+1) +(2x+3) (2x-3) x-1=0 (x-1)(x+1)=0 x1=1 lub x2=-1 Równanie to ma dwa rozwiązania. Nierówności kwadratowe w postaci ax+c>0 lub ax+c kwadratowej. Aby rozwiązać nierówności w tej postaci, szukamy odpowiedzi na pytanie, dla jakich argumentów x funkcja x ax+c przyjmuje odpowiednio wartości dodatnie lub ujemne. Np. x-9>0 Rysujemy wykres funkcji y= x-9 Z wykresu odczytujemy dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie Dla x3 Np. x+4<0 Cały wykres funkcji y= x+4 jest powyżej osi x. Oznacza to, że dla każdej wartości argumentu x wartość tej funkcji jest dodatnia. Dlatego zbiorem nierówności jest zbiór pusty. ZASTOSOWANIE RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI DO ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH Aby rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą równania lub nierówności postępujemy następująco: 1) Obieramy niewiadomą i oznaczamy ją dowolną literą, 2) Za pomocą obranej niewiadomej i danych z zadania wyrażamy wielkości występujące w zadaniu. 3) Wyszukujemy wielkość występującą w zadaniu, którą możemy opisać za pomocą niewiadomej i danych na dwa różne sposoby. 4) Układamy równanie(nierówność). 5) Sprawdzamy, które rozwiązania równania(nierówności) spełniają warunki zadania. 6) Formułujemy odpowiedź. Np. Spośród czterech liczb każda następna jest o 4 mniejsza od poprzedniej. Iloczyn pierwszej i drugiej tych liczb jest Rozwiązanie: x-największa z szukanych liczb x-4 – II liczba x-8 – III licza x-12 – IV liczba najmniejsza Po uwzględnieniu warunku podanego w zadaniu otrzymujemy: x(x-4)=(x-8)(x-12)+224 16x=320 Stąd: x=20, x-4=16, x-8=12, x-12=8 Otrzymamy liczby spełniają warunki zadania, gdyż 20*16=320, 12*8=96, i 320-96=224 Odp: Szukanymi liczbami są: 20, 16, 12, 8. UKŁADY RÓWNAŃ Równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci ax+by+c=0 (gdzie x, y – niewiadome , a, b, c – ustalone liczby a0 b0) lub równanie równoważne danemu. Równoważność równań z dwiema nie wiadomymi rozumiemy podobnie jak równoważność równań z jedną niewiadomą. Słuszne też są dla nich analogiczne twierdzenia o równoważności równań. Rozwiązaniem równania z dwiema niewiadomymi jest para liczb spełniających to równanie np. 2x+y=5 sa pary (0, 5), (1, 3), (2, 1), (3, -1) itp. Takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeżeli dane są dwa równania z dwiema niewiadomymi i szukamy par liczb, które spełniają jednocześnie każde z danych równań, to, mówimy, że dane równania tworzą układ równań. Rozwiązaniem układu równań nazywamy każdą parę liczb spełniających jednocześnie oba równania. Rozwiązać układ równań tzn. znaleźć zbiór wszystkich jego rozwiązań. METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ. GraficznaAlgebraiczna ü Metoda podstawiania, ü Metoda przeciwnych współczynników Metoda podstawiania Np. Najpierw z któregoś równania wyznaczmy jedną niewiadomą (wyrażamy za pomocą drugiej niewiadomej) i otrzymane wyrażenie podstawiamy w miejsce wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Wyznaczamy y z I równania i podstawiamy w miejsce y do drugiego równania. Powstaje układ równoważny danemu. Rozwiązujemy ten układ: Rozwiązaniem jest para liczb (1, 2). Metoda przeciwnych współczynników Metoda ta polega na umiejętnym wykorzystaniu twierdzenia. Twierdzenie Jeżeli w układzie równań dodamy stronami równania, to otrzymamy równanie, które wraz dowolnym równaniem układu tworzy nowy układ równań, równoważny danemu. Np. Najpierw tak mnożymy obie strony jednego (lub obu równań) przez liczbę dobraną tak, by otrzymać równania, w których współczynniki przy jednej niewiadomej będą liczbami przeciwnymi. Dodajemy stronami równania otrzymanego układu otrzymujemy równanie: -2x+2x+2y+3y=-6+11 (Twierdzenia) otrzymujemy układ który rozwiązujemy metodą podstawiania i otrzymujemy parę liczb(4, 1). W powyższych równaniach układ miał dokładnie jedno rozwiązanie w postaci pary liczb. Może mieć też nieskończenie wiele rozwiązań, wiele par liczb. Np. 0x+0y=0 Może nie mieć rozwiązania. Kiedy mężczyzna nauczył się liczyć, miał dośćpalce określające, że dwa mamuty chodzące w pobliżu jaskini są mniejsze niż stado za górą. Ale skoro tylko zdał sobie sprawę, że taka notacja pozycyjna (gdy liczba ma określone miejsce w długim rzędzie), zaczął się zastanawiać: co dalej, jaka jest największa liczba? Od tego czasu najlepsze umysły zaczęły szukać sposobu obliczenia takich ilości, a co najważniejsze, jakie znaczenie ma ich na końcu rzęduKiedy uczniowie zostaną wprowadzeni do początkowegokoncepcja liczb naturalnych, na krawędziach serii liczb, ostrożnie umieszcza elipsę i wyjaśnia, że ​​największe i najmniejsze liczby są kategoriami bez znaczenia. Zawsze istnieje możliwość dodania jednego do największej liczby i nie będzie on już największy. Ale postęp nie byłby możliwy, gdyby nie byli ci, którzy chcieli znaleźć sens tam, gdzie nie powinno liczb nieskończoności z wyjątkiem przerażających io nieokreślonym znaczeniu filozoficznym, stworzyły trudności czysto techniczne. Musiałem szukać symboli dla bardzo dużych liczb. Początkowo czyniono to osobno dla głównych grup językowych, a wraz z rozwojem globalizacji pojawiły się słowa odnoszące się do największej liczby, ogólnie akceptowanej na całym sto, tysiącW każdym języku dla liczb o znaczeniu praktycznym znaleziono własną języku rosyjskim jest to przede wszystkim seria od zera do dziesięciu. Do stu, kolejne liczby są nazywane lub oparte na nich, z małą zmianą w korzeniach - „dwadzieścia” (dwa do dziesięciu), „trzydzieści” (trzy do dziesięciu) itd., Lub są złożone: „dwadzieścia jeden”, „pięćdziesiąt cztery „ Wyjątkiem jest to, że zamiast „czternastu” mamy wygodniejszą „czterdzieści”.Największą dwucyfrową liczbą jest „dziewięćdziesiąt dziewięć”.- ma nazwę złożoną. Ponadto, z ich własnych tradycyjnych nazw - „sto” i „tysiąc”, reszta powstaje z niezbędnych kombinacji. Podobna sytuacja w innych popularnych językach. Logiczne jest myślenie, że dobrze znane imiona zostały nadane liczbom i liczbom, którymi zajmowali się zwykli ludzie. Nawet tysiąc głów bydła mogło być zwykłym chłopem. Z milionem było trudniej i zaczęło się kwintillion, deciardW połowie XV wieku Francuz Nicolas Schucke zaW celu wyznaczenia największej liczby zaproponowano system nazewnictwa na podstawie liczebników ze wspólnych łacińskich uczonych. W języku rosyjskim zostały poddane pewnym modyfikacjom w celu ułatwienia wymowy:1 - Unus - - Duo, Bi (podwójne) - duo, - Tres - - Quattuor - - Quinque - - Seks - - Septem - - Octo - - Novem - - Decem - nazw miała wynosić milion, od „miliona” - „duży tysiąc” - tj. 1 000 000 - 1 000 ^ 2 - tysiąc kwadratów. To słowo, które wymienia największą liczbę, po raz pierwszy użyte przez słynnego nawigatora i naukowca Marco Polo. Tak więc tysiąc w trzecim stopniu stało się bilionem, 1000 ^ 4 - biliardem. Inny Francuz, Peletier, zaproponował liczby, które Shuke nazwał „tysiącem milionów” (10 ^ 9), „tysiąc miliardów” (10 ^ 15) i tak dalej, użyj końcówki „-billion”. Okazało się, że 1 000 000 000 to miliard, 10 ^ 15 - bilard, jednostka z 21 zero bilionów i tak francuskich matematyków zaczęła być stosowana w wielu krajach. Ale stopniowo okazało się, że 10 ^ 9 w niektórych pracach zaczęli dzwonić nie miliard,i miliard. A w Stanach Zjednoczonych przyjęto system, w którym kończący się milion otrzymał stopnie nie miliona, jak Francuzi, ale tysiące. W rezultacie dziś istnieją dwie skale na świecie: „długie” i „krótkie”. Aby zrozumieć, jaką liczbę oznacza nazwa, na przykład biliard, lepiej jest wyjaśnić, w jakim stopniu liczba 10 jest wzniesiona. w tym w Rosji (chociaż mamy 10 ^ 9 - nie miliard, ale miliard), jeśli w 24 jest „długi”, przyjęty w większości regionów Viginilliard i MilleillionPo ostatnim użyciuliczebnik jest deci, a tworzy się decyl - największa liczba bez złożonych formacji wyrazów - 10 ^ 33 w krótkiej skali, dla następujących cyfr używane są kombinacje niezbędnych przedrostków. Otrzymuje się nazwy złożone, takie jak tredecillion - 10 ^ 42, quindecillion - 10 ^ 48 itd. Niekompozytowi Rzymianie zdobyli własne nazwy: dwadzieścia - viginti, sto - centum i jeden tysiąc - mille. Postępując zgodnie z zasadami Shyuke, można tworzyć nazwy potworów w nieskończoność. Na przykład liczba 10 ^ 308760 nazywa się ducentuno lub te konstrukcje są interesujące tylko dla ograniczonychdo liczby ludzi - nie są one używane w praktyce, a same te wielkości nie są nawet związane z teoretycznymi problemami lub twierdzeniami. Liczebniki-olbrzymy, czasami otrzymujące bardzo dźwięczne nazwy lub nazywane nazwiskiem autora, są przeznaczone do czysto teoretycznych Legion, AsankheyaProblem ogromnych liczb martwi się i „przed komputerem”pokolenia. Słowianie mieli kilka systemów liczbowych, w niektórych osiągnęli ogromne wysokości: największa liczba to 10 ^ 50. Nazwy liczb z wysokości naszego czasu wydają się być poezją i czy wszystkie miały praktyczne znaczenie, tylko historycy i lingwiści wiedzą: 10 ^ 4 - „ciemność”, 10 ^ 5 - „legion”, 10 ^ 6 - „leodr”, 10 ^ 7 - kłamstwa, kruk, 10 ^ 8 - „talia”.Liczba asaskhyeya, nie mniej piękna z nazwy, jest wymieniona w buddyjskich tekstach, w starożytnych chińskich i starożytnych indyjskich kolekcjach sutr. Ilościowa wartość liczby asankheyanaukowcy powołują się na 10 ^ 140. Dla tych, którzy ją rozumieją, jest ona pełna boskiego znaczenia: jest tak wiele kosmicznych cykli, przez które dusza musi przejść, aby zostać oczyszczonym ze wszystkich fizycznych rzeczy zgromadzonych na długiej ścieżce odrodzenia i aby osiągnąć błogi stan googolplexMatematyk z Columbia University (USA)Edward Kasner z początku lat 20. zaczął myśleć o wielkich liczbach. W szczególności interesowało go dźwięczne i wyraziste imię pięknej liczby 10 ^ 100. Pewnego razu poszedł ze swoimi bratankami i opowiedział im o tym numerze. Dziewięcioletni Milton Sirotta zasugerował słowo googol - googol. Mój wujek otrzymał premię od swoich bratanków - nowy numer, który wyjaśniono w następujący sposób: jeden i tyle zer, ile możesz napisać, aż się zmęczysz. Nazwa tego numeru to googolplex. Po refleksji Quaschner zdecydował, że będzie to numer 10 ^ takich liczb Kashner widział więcejpedagogiczne: nauka nie znała niczego w takich liczbach i wyjaśnił przyszłym matematykom ich przykład, co może być największą liczbą w przeciwieństwie do jest elegancki pomysł nazywania małych geniuszyZałożyciele firmy promują nową wyszukiwarkę. Domena googol okazała się zajęta, a litera o wypadła, ale pojawiła się nazwa, której efemeryczna liczba może pewnego dnia stać się rzeczywista - jej akcje będą kosztować Shannona, numer Skyuz, mezon, megistonW przeciwieństwie do fizyków, okresowo się potykaz powodu ograniczeń narzuconych przez naturę matematycy kontynuują swoją podróż w kierunku nieskończoności. Claude Shannon (1916-2001), który lubi grę w szachy, wypełnił znaczeniem liczbę 10 ^ 118 - tak samo wiele wariantów pozycji może powstać w 40 Scuse z Południowej Afryki był zaangażowany w jeden zsiedem zadań zawartych na liście „problemów milenijnych” - hipoteza Riemanna. Dotyczy poszukiwania wzorców rozkładu liczb pierwszych. W trakcie rozumowania po raz pierwszy użył liczby 10 ^ 10 ^ 10 ^ 34, oznaczonej przez niego Sk1 a następnie 10 ^ 10 ^ 10 ^ 963 - drugi numer Skuze - nadaje się nawet do obsługi takich system nagrywania. Hugo Steinhaus (1887-1972) zaproponował użycie figur geometrycznych: nw trójkącie n oznacza moc n, n w kwadracie - nw n trójkątach, n w okręgu - jest nw n kwadratach. Wyjaśnił ten system na przykładzie mega - 2 liczb w okręgu, mezon - 3 w kole, megiston - 10 w okręgu. Tak trudno jest na przykład zidentyfikować największą dwucyfrową liczbę, ale stało się łatwiej działać z kolosalnymi Donald Knut zaproponował zmianęnotacja, w której ponowne potęgowanie zostało wskazane przez strzałkę zapożyczoną z praktyki programisty. Googol w tym przypadku wygląda jak 10 ↑ 10 2 i googolplex - 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ GrahamaRonald Graham (ur. 1935), amerykański matematyk, w trakcie studiowania teorii Ramseya związanej z hipersześcianami - wielowymiarowe ciała geometryczne - wprowadzono specjalne numery G1 - G64 , przez co przedstawił granice rozwiązania,gdzie górna granica była największą wielokrotnością, która otrzymała swoją nazwę. Obliczył nawet ostatnie 20 cyfr, a dane początkowe były następujące:- G1 = 3 ↑↑↑ 3 2 = 7,7 x 10 ^ G2= 3 ↑ ... ↑ 3 (liczba strzał supermocarstw = G1).- G3= 3 ↑ ... ↑ 3 (liczba strzał supermocarstw = G2)....- G64= 3 ↑ ... ↑ 3 (liczba strzał supermocarstw = G63 )G64po prostu określany jako G i jest największą liczbą na świecie używaną w obliczeniach matematycznych. Jest wymieniony w księdze rekordów. Jest prawie niemożliwe wyobrazić sobie jego skalę, biorąc pod uwagę, że cała objętość wszechświata znana człowiekowi, wyrażona w najmniejszej jednostce objętości (sześcian z granicą długości Plancka (10-35 m)), wyraża się cyfrą 10 ^ 185.

liczba r jest najmniejsza liczba rzeczywista